решить пример х^2-3х+4>(2х-1)(х+1)
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 3x + 4 > (2x - 1)(x + 1) \), начнем с того, что преобразуем правую часть неравенства.
Раскроем скобки в правой части: \[ (2x - 1)(x + 1) = 2x^2 + 2x - x - 1 = 2x^2 + x - 1 \]
Теперь запишем неравенство с обеих сторон: \[ x^2 - 3x + 4 > 2x^2 + x - 1 \]
Переносим все члены на одну сторону, чтобы получить неравенство в стандартном виде: \[ x^2 - 3x + 4 - 2x^2 - x + 1 > 0 \]
Объединим подобные члены: \[ -x^2 - 4x + 5 > 0 \]
Умножим обе стороны на -1 (не забываем при этом изменить знак неравенства): \[ x^2 + 4x - 5 < 0 \]
Теперь решим квадратное неравенство \( x^2 + 4x - 5 < 0 \) с помощью нахождения корней соответствующего уравнения \( x^2 + 4x - 5 = 0 \). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Корни уравнения будут: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] Таким образом: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -5 \). Неравенство \( x^2 + 4x - 5 < 0 \) изменяет знак между корнями. Поэтому необходимо проверить знаки функции в промежутках:
- Для \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( (-6)^2 + 4(-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0 \)
- В промежутке \( -5 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 + 4(0) - 5 = -5 < 0 \)
- Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( 2^2 + 4(2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0 \)
Таким образом, неравенство выполняется в промежутке: \[ -5 < x < 1 \]
Ответ: \( x \) принадлежит интервалу \( (-5, 1) \).
