Площадь полной поверхности цилиндра равна 20п, а площадь основания 4п. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Для решения задачи начнем с формул, которые нам понадобятся.
Площадь полной поверхности цилиндра (S_пол) определяется как: \[ S_{\text{пол}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \] где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, а \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности.
Площадь основания цилиндра (S_осн) равна: \[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 \] где \(r\) — радиус основания.
Дано:
- \(S_{\text{пол}} = 20\pi\)
- \(S_{\text{осн}} = 4\pi\)
Теперь найдем радиус основания:
\[ S_{\text{осн}} = 4\pi = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2 \]
Теперь подставим найденное значение радиуса в формулу для полной площади поверхности:
\[ S_{\text{пол}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]
Это дает: \[ 20\pi = 2 \cdot 4\pi + S_{\text{бок}} \Rightarrow 20\pi = 8\pi + S_{\text{бок}} \Rightarrow S_{\text{бок}} = 20\pi - 8\pi = 12\pi \]
Теперь мы готовы найти площадь осевого сечения цилиндра. Площадь осевого сечения цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра \(h\), а ширина равна диаметру основания \(d = 2r\). Площадь осевого сечения (S_ос) можно найти по формуле: \[ S_{\text{ос}} = h \cdot d \]
Для нахождения высоты \(h\) воспользуемся формулой для площади боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = 2\pi r h \Rightarrow 12\pi = 2\pi \cdot 2 \cdot h \Rightarrow 12\pi = 4\pi h \Rightarrow h = \frac{12\pi}{4\pi} = 3 \]
Теперь можем найти площадь осевого сечения: \[ S_{\text{ос}} = h \cdot d = h \cdot (2r) = 3 \cdot (2 \cdot 2) = 3 \cdot 4 = 12 \]
Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна \(12\).
