В результате перестановки цифр двузначного числа это число увеличилось на 9. Найдите все такие двузначные числа.

Для решения этой задачи обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) - десятичная цифра (от 1 до 9), а \( b \) - единичная цифра (от 0 до 9).

Согласно условию, после перестановки цифр (т.е. число становится \( 10b + a \)), новое число увеличивается на 9 относительно первоначального. Мы можем записать уравнение:

\[ 10b + a = 10a + b + 9 \]

Теперь упростим уравнение:

\[ 10b + a - b - 10a = 9 \] \[ 9b - 9a = 9 \] \[ 9(b - a) = 9 \]

Разделим обе стороны на 9:

\[ b - a = 1 \]

Это значит, что единичная цифра на 1 больше, чем десятичная. Чтобы найти все подходящие двузначные числа, мы можем выразить \( b \) через \( a \):

\[ b = a + 1 \]

Теперь подставим значения \( a \) от 1 до 8 (поскольку \( b \) не может превышать 9):

• Если \( a = 1 \), то \( b = 2 \) ⇒ число 12.
• Если \( a = 2 \), то \( b = 3 \) ⇒ число 23.
• Если \( a = 3 \), то \( b = 4 \) ⇒ число 34.
• Если \( a = 4 \), то \( b = 5 \) ⇒ число 45.
• Если \( a = 5 \), то \( b = 6 \) ⇒ число 56.
• Если \( a = 6 \), то \( b = 7 \) ⇒ число 67.
• Если \( a = 7 \), то \( b = 8 \) ⇒ число 78.
• Если \( a = 8 \), то \( b = 9 \) ⇒ число 89.

Таким образом, все двузначные числа, которые удовлетворяют условию задачи:

• 12
• 23
• 34
• 45
• 56
• 67
• 78
• 89

Каждое из этих чисел при перестановке цифр увеличивается на 9.