Пусть X, Y и Z - произвольные точки докажите, что векторы p=XY+ZX+YZ, q=(XY-XZ)+YZ и r=(ZY-XY) -ZX нулевые
Чтобы доказать, что векторы \( p \), \( q \) и \( r \) равны нулевому вектору, давайте разберем каждый из них по отдельности, используя свойства векторов и их сложение.
Вектор \( p = XY + ZX + YZ \): Вектор \( XY \) направлен от точки \( X \) к точке \( Y \), вектор \( ZX \) — от точки \( Z \) к точке \( X \), а вектор \( YZ \) — от точки \( Y \) к точке \( Z \). Если мы представим эти векторы на плоскости, то следуемому последовательности:
- Начнем из точки \( X \), перейдем в \( Y \) (вектор \( XY \)),
- Затем из \( Y \) перейдем в \( Z \) (вектор \( YZ \)),
- Наконец, из \( Z \) вернемся в \( X \) (вектор \( ZX \)).
Все три вектора складываются так, что в результате мы приходим обратно в начальную точку \( X \). Это означает, что: \[ p = XY + YZ + ZX = 0 \]
Вектор \( q = (XY - XZ) + YZ \): Здесь разберем выражение \( XY - XZ \). Вектор \( XZ \) направлен от \( X \) к \( Z \), и вычитание \( XZ \) из \( XY \) можно интерпретировать следующим образом: мы сначала идем от \( X \) к \( Y \), а затем, чтобы компенсировать это, идем от \( X \) к \( Z \).
- После этого добавляем \( YZ \), то есть идем от \( Y \) к \( Z \).
Последовательность векторов также замкнута, и в итоге мы возвращаемся в ту же точку, которая соответствует началу пути. Поэтому: \[ q = (XY - XZ) + YZ = 0 \]
Вектор \( r = (ZY - XY) - ZX \): Начнем с вектора \( ZY \), который идет от \( Z \) к \( Y \), и вычтем \( XY \), который идет от \( X \) к \( Y \). Прибавив \( -ZX \), мы идем от \( Z \) к \( X \).
При этом все векторы также замыкают путь. Мы можем выразить, что в общем идем от \( Z \) к \( Y \), затем от \( Y \) к \( X \) и обратно. Таким образом: \[ r = (ZY - XY) - ZX = 0 \]
Таким образом, мы видим, что все три вектора \( p \), \( q \) и \( r \) равны нулевому вектору, что и требовалось доказать.
