Упростите: 1) 1-cos²α 2) 2sin15°×cos15° 3) cos²π/8-sin²π/8 4) sint=5/13 π/2

Давайте упростим каждое из представленных выражений по порядку.

1. 1 - cos²α
   Используя основное тригонометрическое тождество:
   \( \sin²α + \cos²α = 1 \)
   получается:
   \( 1 - \cos²α = \sin²α \)

2. 2sin15° × cos15°
   Это можно упростить, используя формулу двойного угла для синуса:
   \( \sin(2α) = 2 \sin(α) \cos(α) \)
   Таким образом:
   \( 2\sin15° \cos15° = \sin(30°) = \frac{1}{2} \)

3. cos²(π/8) - sin²(π/8)
   Используем формулу для косинуса двойного угла:
   \( \cos(2α) = \cos²α - \sin²α \)
   Т.е.:
   \( cos²(π/8) - sin²(π/8) = \cos(π/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

4. sin2t, если sint = 5/13, π/2 < t < π
   Из этого условия мы знаем, что t находится во втором квадранте.
   Найдем cos t:
   \( \cos²t = 1 - \sin²t = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)² = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \)
   \( \cos t = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \) (отрицательное, так как во втором квадранте)
   Теперь используем формулу для двойного угла:
   \( \sin(2t) = 2 \sin t \cos t = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot -\frac{12}{13} = -\frac{120}{169} \)

5. sin2α / 2cosα
   Используем формулу для синуса двойного угла:
   \( \sin(2α) = 2 \sinα \cosα \)
   Таким образом:
   \( \frac{\sin(2α)}{2\cosα} = \sinα \)

6. tg²β × (1 + cos2β)
   Зная, что \( \tan β = \frac{\sin β}{\cos β} \), можем переписать:
   \( \tan^2 β = \frac{\sin^2 β}{\cos^2 β} \)
   Используем \( \cos(2β) = 2\cos²β - 1 = 1 - 2\sin²β \):
   Тогда:
   \( 1 + \cos(2β) = 2\cos²β \)
   Итог:
   \( \tan²β(1 + \cos(2β)) = \frac{\sin²β}{\cos²β} \cdot 2\cos²β = 2\sin²β \)

7. cos2α + \frac{cos²α}{1 - cos²α}
   Опять используем \( \cos(2α) = 1 - 2\sin²α \) и \( 1 - \cos²α = \sin²α \):
   Тогда:
   \( cos²α/(1 - cos²α) = \frac{\cos²α}{\sin²α} = \cot²α \)
   Итог:
   \( 1 - 2\sin²α + \cot²α \), которое можно упростить, но выражение в данной форме может зависеть от нужных преобразований, в общем, оно уже является упрощённым.

8. tg2t, если sint = 5/13, π/2 < t < π
   Мы уже нашли косинус t, так что =
   \( \tan(2t) = \frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} \)
   где:
   \( \sin(2t) = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot -\frac{12}{13} = -\frac{120}{169} \)
   Теперь найдем \( \cos(2t) = \cos²t - \sin²t = (-\frac{12}{13})² - (\frac{5}{13})² = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169} \)
   Таким образом:
   \( \tan(2t) = \frac{-\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}} = -\frac{120}{119} \)

Если есть дополнительные вопросы или требуется больше информации по каждой задаче, не стесняйтесь спрашивать!