sqrt(x^(2)+3x-4)>x+2
Чтобы решить неравенство \( \sqrt{x^2 + 3x - 4} > x + 2 \), начнем с того, что у нас есть квадратный корень. Чтобы избавиться от него, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Но сначала убедимся, что \( \sqrt{x^2 + 3x - 4} \) неотрицательно, так как корень не может быть отрицательным. Это означает, что \( x^2 + 3x - 4 \geq 0 \).
Раскроем квадратный корень: \[ x^2 + 3x - 4 > (x + 2)^2. \]
Посчитаем правую часть: \[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4. \]
Подставим это обратно в неравенство: \[ x^2 + 3x - 4 > x^2 + 4x + 4. \]
Упрощаем неравенство, вычитая \( x^2 \) с обеих сторон: \[ 3x - 4 > 4x + 4. \]
Переносим все к одной стороне: \[ 3x - 4x - 4 > 4 \Rightarrow -x - 4 > 4. \]
Добавляем 4 к обеим сторонам: \[ -x > 8. \]
Умножаем на -1, не забывая изменить знак неравенства: \[ x < -8. \]
Теперь у нас есть решение \( x < -8 \). Не забудьте также проверить, что выражение под корнем неотрицательно для значений \( x < -8 \):
Для проверки, подставим \( x = -9 \): \[ x^2 + 3x - 4 = (-9)^2 + 3(-9) - 4 = 81 - 27 - 4 = 50, \] что больше нуля. Для проверки границ, подставляем \( x = -8 \): \[ (-8)^2 + 3(-8) - 4 = 64 - 24 - 4 = 36, \] что тоже положительно.
Таким образом, решение неравенства \( \sqrt{x^2 + 3x - 4} > x + 2 \) – это \( x < -8 \).
