BK — биссектриса треугольника ABC. Известно, что ∠AKB : ∠CKB=4 : 5. Найдите разность углов A и C треугольника ABC.

Для решения задачи сначала нужно понять, что биссектрисa треугольника делит угол на две части. В вашем случае, углы \( \angle AKB \) и \( \angle CKB \) соотносятся как 4:5.

Обозначим \( \angle AKB = 4x \) и \( \angle CKB = 5x \). Тогда сумма этих углов будет:

\[ \angle AKB + \angle CKB = 4x + 5x = 9x \]

Согласно свойству биссектрисы, сумма углов \( \angle AKB \) и \( \angle CKB \) равна углу \( \angle ABC \):

\[ \angle ABC = 9x \]

Теперь по свойству треугольников, сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Запишем \( \angle A = \angle AKB \) и \( \angle C = \angle CKB \). Таким образом, получаем:

\[ \angle A + 9x + \angle C = 180^\circ \]

Теперь подставим \( \angle A = 4x \) и \( \angle C = 5x \):

\[ 4x + 9x + 5x = 180^\circ \]

То есть:

\[ 18x = 180^\circ \]

Решая это уравнение, найдем \( x \):

\[ x = 10^\circ \]

Теперь можем найти значения \( \angle A \) и \( \angle C \):

\[ \angle A = 4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ, \] \[ \angle C = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ \]

Теперь находим разность углов \( A \) и \( C \):

\[ \angle A - \angle C = 40^\circ - 50^\circ = -10^\circ \]

Так как ищем модуль разности, то разность углов \( A \) и \( C \) будет:

\[ |\angle A - \angle C| = 10^\circ \]

Таким образом, разность углов \( A \) и \( C \) треугольника \( ABC \) равна \( 10^\circ \).