sqrt(x^2-x-2)>x-1

Чтобы решить неравенство \( \sqrt{x^2 - x - 2} > x - 1 \), начнем с квадратирования обеих сторон. Однако, перед этим важно учесть область определения для квадратного корня: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1. Найдем область определения: \[ x^2 - x - 2 \geq 0 \] Мы можем решить это неравенство, найдя корни уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Это дает корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).

   Теперь, разбиваем числовую линию на интервалы, используя корни:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, 2) \)
   • \( (2, +\infty) \)

   Проверяем знак на каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, -1) \) выбираем \( x = -2 \): \( (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 \) (положительно);
   • Для интервала \( (-1, 2) \) выбираем \( x = 0 \): \( 0^2 - 0 - 2 = -2 \) (отрицательно);
   • Для интервала \( (2, +\infty) \) выбираем \( x = 3 \): \( 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 \) (положительно).

   Таким образом, область определения - \( x \leq -1 \) и \( x \geq 2 \).

2. Решим неравенство: Квадратируем обе стороны (принимая во внимание, что при этом возможны ложные решения): \[ x^2 - x - 2 > (x - 1)^2 \] Раскроем скобки: \[ x^2 - x - 2 > x^2 - 2x + 1 \] Упростим неравенство: \[ -x - 2 > -2x + 1 \implies -x + 2x > 1 + 2 \implies x > 3 \]

3. Подводим итог: Мы нашли два условия:

   • \( x > 3 \)
   • \( x \leq -1 \) или \( x \geq 2 \)

   Однако, из них подходит только \( x > 3 \).

4. Ответ: Неравенство \( \sqrt{x^2 - x - 2} > x - 1 \) выполняется для \( x > 3 \).