На стороне CD и на продолжении стороны AD квадрата ABCD взяли точки K и E так, что CK=AE. Найдите угол BEK.

Для решения задачи начнем с того, что обозначим стороны квадрата ABCD. Пусть длина стороны квадрата равна \( a \).

1. Определим координаты вершин квадрата:

   • \( A(0, a) \)
   • \( B(a, a) \)
   • \( C(a, 0) \)
   • \( D(0, 0) \)

2. Расположим точки K и E:

   • Точка \( K \) находится на стороне \( CD \), поэтому ее координаты можем записать как \( K(x, 0) \), где \( 0 \leq x \leq a \).
   • Точка \( E \) находится на продолжении стороны \( AD \), тогда ее координаты \( E(0, y) \), где \( y > a \).

3. Из условия \( CK = AE \) найдем расстояния:

   • Расстояние \( CK \): \[ CK = \sqrt{(a - x)^2 + (0 - 0)^2} = a - x \]
   • Расстояние \( AE \): \[ AE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - a)^2} = y - a \]

4. Приравняем расстояния: \[ a - x = y - a \implies y = 2a - x \]

5. Теперь определим угол \( BEK \).

   • Найдем векторы \( \overrightarrow{BE} \) и \( \overrightarrow{BK} \): \[ \overrightarrow{BE} = E - B = (0, y) - (a, a) = (-a, y - a) \] \[ \overrightarrow{BK} = K - B = (x, 0) - (a, a) = (x - a, -a) \]

6. Вычислим углы при помощи скалярного произведения: \[ \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BK} = (-a)(x - a) + (y - a)(-a) = -a(x - a) - a(y - a) \] Подставим \( y = 2a - x \): \[ \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BK} = -a(x - a) - a((2a - x) - a) = -a(x - a) - a(2a - x - a) = -a(x - a) - a(a - 2a + x) = -a(x - a) - a(-a + x) \] Упрощая: \[ \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BK} = -a(x - a) + a(x - a) = 0 \]

7. Таким образом, скалярное произведение равно нулю, что означает, что векторы перпендикулярны. Это означает, что угол \( BEK \) равен \( 90^\circ \).

Таким образом, угол \( BEK \) равен \( 90^\circ \).