Закон движения материальной точки имеет вид [ ][ м 2sin 2 cos jtit r r r r ⎟ πβ+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π α= ] м 5,0,2 β = α = м , где . Найти величину вектора скорости точки в момент времени…
Закон движения материальной точки имеет вид [ ][ м 2sin 2 cos jtit r r r r ⎟ πβ+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π α= ] м 5,0,2 β = α = м , где . Найти величину вектора скорости точки в момент времени t =1c
Для того чтобы найти величину вектора скорости точки в момент времени \( t = 1 \) с, сначала нужно определить уравнения движения, которые заданы в вопросе.
Так как у нас есть функция потребления на движение, давайте представим её более явно.
Дана следующая форма движения:
\[ \mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} 2\sin(\pi t) \\ 0.5 \\ 2\cos(\pi t) \end{bmatrix} \]
где \( \alpha = 0.5 \) и \( \beta = 2 \).
Теперь, чтобы найти вектор скорости, необходимо вычислить производную вектора положения \(\mathbf{r}(t)\) по времени:
\[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \]
Вычисляем каждую компонету:
Первая компонента: \[ \frac{d}{dt}(2\sin(\pi t)) = 2\pi \cos(\pi t) \]
Вторая компонента: \[ \frac{d}{dt}(0.5) = 0 \]
Третья компонента: \[ \frac{d}{dt}(2\cos(\pi t)) = -2\pi \sin(\pi t) \]
Таким образом, вектор скорости будет выглядеть следующим образом:
\[ \mathbf{v}(t) = \begin{bmatrix} 2\pi \cos(\pi t) \\ 0 \\ -2\pi \sin(\pi t) \end{bmatrix} \]
Теперь подставим \( t = 1 \):
Первая компонента: \[ \mathbf{v}_1(1) = 2\pi \cos(\pi \cdot 1) = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi \]
Вторая компонента: \[ \mathbf{v}_2(1) = 0 \]
Третья компонента: \[ \mathbf{v}_3(1) = -2\pi \sin(\pi \cdot 1) = -2\pi \cdot 0 = 0 \]
Теперь можем записать вектор скорости в момент \( t = 1 \):
\[ \mathbf{v}(1) = \begin{bmatrix} -2\pi \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Чтобы найти величину вектора скорости, воспользуемся формулой:
\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \sqrt{(-2\pi)^2 + 0^2 + 0^2} = 2\pi \]
Таким образом, величина вектора скорости в момент времени \( t = 1 \) составляет \( 2\pi \) метров в секунду.
