1.19. Закон движения материальной vec r =a cos(pi/2 * t) vec i + beta sin[2 pi t] vec j [M], точки имеет вид где а = 2м, beta = 0, 5m Найти величину вектора скорости точки в…

Для решения данной задачи начнем с того, что векторная функция положения точки задана уравнением:

\[ \vec{r} = a \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \vec{i} + \beta \sin(2 \pi t) \vec{j} \]

где \(a = 2 \, \text{м}\) и \(\beta = 0.5 \, \text{м}\).

Для нахождения вектора скорости необходимо взять производную вектора положения по времени:

\[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} \]

Теперь вычислим производные по каждой компоненте:

1. Для компоненты по \(x\):

\[ \frac{d}{dt} \left( a \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \right) = -a \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cdot \frac{\pi}{2} \]

Подставляем значение \(a = 2 \, \text{м}\):

\[ \frac{d}{dt} \left( 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \right) = -2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cdot \frac{\pi}{2} = -\pi \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \]

2. Для компоненты по \(y\):

\[ \frac{d}{dt} \left( \beta \sin(2 \pi t) \right) = \beta \cdot \cos(2 \pi t) \cdot 2 \pi \]

Подставляем значение \(\beta = 0.5 \, \text{м}\):

\[ \frac{d}{dt} \left( 0.5 \sin(2 \pi t) \right) = 0.5 \cdot \cos(2 \pi t) \cdot 2 \pi = \pi \cos(2 \pi t) \]

Теперь можем записать вектор скорости:

\[ \vec{v} = -\pi \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \vec{i} + \pi \cos(2 \pi t) \vec{j} \]

Теперь подставим \(t = 1 \, \text{с}\):

1. Компонента по \(x\):

\[ -\pi \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 1\right) = -\pi \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\pi \]

2. Компонента по \(y\):

\[ \pi \cos(2 \pi \cdot 1) = \pi \cos(2 \pi) = \pi \]

Итак, вектор скорости в момент времени \(t = 1 \, \text{с}\) будет равен:

\[ \vec{v}(1) = -\pi \vec{i} + \pi \vec{j} \]

Это и есть искомый вектор скорости.