Найти наименьшее из расстояний от точки А(3;3) до точек окружности x^2+y^2-16x-30y+225=0
Для начала, давайте упростим уравнение окружности. Уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 - 16x - 30y + 225 = 0\). Мы можем привести его к стандартному виду, выделив полный квадрат.
Для \(x^2 - 16x\): \[ x^2 - 16x = (x - 8)^2 - 64 \]
Для \(y^2 - 30y\): \[ y^2 - 30y = (y - 15)^2 - 225 \]
Теперь подставим это обратно в уравнение окружности: \[ (x - 8)^2 - 64 + (y - 15)^2 - 225 + 225 = 0 \] Упрощаем: \[ (x - 8)^2 + (y - 15)^2 - 64 = 0 \] \[ (x - 8)^2 + (y - 15)^2 = 64 \]
Теперь мы видим, что окружность имеет центр в точке \(C(8, 15)\) и радиус \(R = \sqrt{64} = 8\).
Теперь найдем расстояние от точки \(A(3, 3)\) до центра окружности \(C(8, 15)\): \[ d(A, C) = \sqrt{(8 - 3)^2 + (15 - 3)^2} = \sqrt{(5)^2 + (12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13. \]
Теперь найдем наименьшее расстояние от точки \(A\) до окружности. Оно равно расстоянию от точки до центра окружности минус радиус: \[ d_{min} = d(A, C) - R = 13 - 8 = 5. \]
Таким образом, наименьшее расстояние от точки \(A(3, 3)\) до окружности равно \(5\).
