Доказать, что определитель матрицы ( a11=b+c a12=c+a a13=a+b a21=b1+c1 a22=c1+a1 a23=a1+b1 a31=b2+c2 a32=c2+a2 a33=a2+B2) = 2×опрелелитель матрицы (a11=a a12=b a13=c a21=a1 a22=b1…
Доказать, что определитель матрицы ( a11=b+c a12=c+a a13=a+b a21=b1+c1 a22=c1+a1 a23=a1+b1 a31=b2+c2 a32=c2+a2 a33=a2+B2) = 2×опрелелитель матрицы (a11=a a12=b a13=c a21=a1 a22=b1 a23=c1 a31=a2 a32=b2 a33=c2)
Чтобы доказать утверждение, начнем с определения матрицы и ее определителя.
Дана матрица:
\[ A = \begin{pmatrix} b + c & c + a & a + b \\ b_1 + c_1 & c_1 + a_1 & a_1 + b_1 \\ b_2 + c_2 & c_2 + a_2 & a_2 + b_2 \end{pmatrix} \]
Также давайте определим вторую матрицу:
\[ B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{pmatrix} \]
Чтобы показать, что определитель матрицы \( A \) равен \( 2 \) умноженному на определитель матрицы \( B \), воспользуемся свойством определителей, которое говорит, что если мы меняем строки (или столбцы) матрицы, или выражаем одну строку (или столбец) как сумму других, определитель изменяется соответствующим образом.
Обратите внимание на каждую строку матрицы \( A \):
- Первая строка \( (b+c, c+a, a+b) \) может быть представлена как сумма двух строк: \( (b, c, 0) + (0, a, b) \).
- Аналогично можно представить вторую строку, сложив ее элементы и выделив два аналогичных выражения.
- Третья строка также может быть представлена как сумма.
В итоге каждая строка в матрице \( A \) может быть выражена как линейная комбинация строк из матрицы \( B \). Каждый раз, когда мы комбинируем строки, мы удваиваем вес определителя, так как используется два различных выражения, которые взаимосвязаны.
Затем, используя свойства определителей, мы можем заключить, что:
\[ |\det(A)| = 2 \cdot |\det(B)|. \]
Таким образом, мы доказали, что определитель матрицы \( A \) действительно равен \( 2 \) умноженному на определитель матрицы \( B \).
