Площадь полной поверхности цилиндра равна 427, а его площадь осевого сечения 24. Найдите высоту цилиндра.
Для решения задачи, давайте вспомним формулы для площади полной поверхности цилиндра и площади осевого сечения.
Площадь полной поверхности цилиндра выражается как: \[ S = 2\pi r(h + r) \] где \( r \) — радиус основы цилиндра, \( h \) — высота цилиндра.
Площадь осевого сечения цилиндра — это площадь круга, которая равна: \[ S_{ос} = \pi r^2 \]
В данном случае нам даны:
- Площадь полной поверхности \( S = 427 \)
- Площадь осевого сечения \( S_{ос} = 24 \)
Сначала найдем радиус \( r \) через площадь осевого сечения: \[ \pi r^2 = 24 \] Отсюда найдем \( r \): \[ r^2 = \frac{24}{\pi} \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{\frac{24}{\pi}} \]
Теперь подставим значение радиуса в формулу для площади полной поверхности: \[ 427 = 2\pi r(h + r) \] Заменим \( r \): \[ 427 = 2\pi \left(\sqrt{\frac{24}{\pi}}\right)(h + \sqrt{\frac{24}{\pi}}) \]
Упростим это выражение: \[ 427 = 2\sqrt{24\pi}(h + \sqrt{\frac{24}{\pi}}) \]
Теперь найдем \( 2\sqrt{24\pi} \): \[ 2\sqrt{24\pi} = 2 \cdot \sqrt{24} \cdot \sqrt{\pi} = 4\sqrt{6\pi} \]
Теперь у нас есть: \[ 427 = 4\sqrt{6\pi}(h + \sqrt{\frac{24}{\pi}}) \]
Решим это уравнение относительно \( h \): \[ h + \sqrt{\frac{24}{\pi}} = \frac{427}{4\sqrt{6\pi}} \]
Теперь выразим \( h \): \[ h = \frac{427}{4\sqrt{6\pi}} - \sqrt{\frac{24}{\pi}} \]
Для окончательного результата можно подставить значение \( \pi \) приблизительно равное 3.14, чтобы найти численное значение для высоты \( h \).
- Вычислите \( \sqrt{\frac{24}{\pi}} \) и подставьте его в выражение.
- Затем подсчитайте \( \frac{427}{4\sqrt{6\pi}} \).
Работа с этими значениями даст вам конечный ответ для высоты цилиндра \( h \).
