Найдите наименьшее из двух последовательных четных чисел, если сумма НОК и НОД этих чисел равно 222.

Для решения задачи необходимо обозначить два последовательных четных числа. Обозначим их как \( n \) и \( n + 2 \), где \( n \) — первое четное число.

Сначала найдем НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) для этих двух чисел:

1. Находим НОД: Так как оба числа четные, их НОД равен 2, потому что 2 является наибольшим числом, на которое делятся оба числа.

2. Находим НОК: НОК можно вычислить по формуле: \[ \text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)} \] Здесь \( a = n \) и \( b = n + 2 \). Подставим значения: \[ \text{НОК}(n, n + 2) = \frac{n \cdot (n + 2)}{2} = \frac{n^2 + 2n}{2} \]

Теперь мы знаем НОД и НОК:

• НОД = 2
• НОК = \( \frac{n^2 + 2n}{2} \)

Теперь согласно условию задачи, сумма НОД и НОК равна 222: \[ \text{НОК} + \text{НОД} = 222 \] Подставим известные нам значения: \[ \frac{n^2 + 2n}{2} + 2 = 222 \]

Теперь умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ n^2 + 2n + 4 = 444 \]

Переносим 444 в левую часть: \[ n^2 + 2n - 440 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1, b = 2, c = -440 \): \[ n = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-440)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 1760}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{1764}}{2} \]

Находим корень: \[ \sqrt{1764} = 42 \] Теперь подставим значение корня: \[ n = \frac{-2 \pm 42}{2} \]

Решим два случая:

1. \( n = \frac{40}{2} = 20 \)
2. \( n = \frac{-44}{2} = -22 \) (отбрасываем, так как нам нужны положительные четные числа)

Таким образом, наименьшее четное число: \[ n = 20 \] Следовательно, наименьшее из двух последовательных четных чисел 20 и 22.

Ответ: 20.