{х²-8х+15<0 {х²-10х+24>0

Конечно! Давайте решим неравенства одно за другим.

1. Решение первого неравенства: \[ x^2 - 8x + 15 < 0 \] Сначала найдем корни этого квадратного уравнения, решая \(x^2 - 8x + 15 = 0\).

   Мы можем его факторизовать: \[ (x - 3)(x - 5) = 0 \] Таким образом, корни – \(x = 3\) и \(x = 5\).

   Теперь определим знаки выражения \(x^2 - 8x + 15\) на интервалах, которые получаем из корней:

   • \((-\infty, 3)\)
   • \((3, 5)\)
   • \((5, +\infty)\)

   Проверим знаки:

   • Для \(x < 3\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 8(0) + 15 = 15 > 0\)
   • Для \(3 < x < 5\) (например, \(x = 4\)): \(4^2 - 8(4) + 15 = 1 < 0\)
   • Для \(x > 5\) (например, \(x = 6\)): \(6^2 - 8(6) + 15 = 3 > 0\)

   Таким образом, первое неравенство \(x^2 - 8x + 15 < 0\) выполняется на интервале \((3, 5)\).

2. Решение второго неравенства: \[ x^2 - 10x + 24 > 0 \] Аналогично, сначала найдём корни: \[ x^2 - 10x + 24 = 0 \] Факторизуем: \[ (x - 6)(x - 4) = 0 \] Корни – \(x = 4\) и \(x = 6\).

   Определим знаки на интервалах:

   • \((-\infty, 4)\)
   • \((4, 6)\)
   • \((6, +\infty)\)

   Проверяем:

   • Для \(x < 4\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 10(0) + 24 = 24 > 0\)
   • Для \(4 < x < 6\) (например, \(x = 5\)): \(5^2 - 10(5) + 24 = -1 < 0\)
   • Для \(x > 6\) (например, \(x = 7\)): \(7^2 - 10(7) + 24 = 5 > 0\)

   Таким образом, второе неравенство \(x^2 - 10x + 24 > 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, 4)\) и \((6, +\infty)\).

3. Объединение решений: Теперь мы должны объединить полученные результаты:

   • Первое неравенство: \(x \in (3, 5)\)
   • Второе неравенство: \(x \in (-\infty, 4) \cup (6, +\infty)\)

   Объединяем пересечения:

   • Область для первого неравенства: \(3 < x < 5\)
   • Для второго: \(x < 4\)

   Пересечение даёт: \[ x \in (3, 4) \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (3, 4) \]