найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданом отрезке у=х^3+3х^2-4 {-3;1}

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^3 + 3x^2 - 4 \) на заданном отрезке \([-3; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдём производную функции: \[ y' = 3x^2 + 6x \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 3x^2 + 6x = 0 \] Выносим общий множитель: \[ 3x(x + 2) = 0 \] Это дает нам две критические точки: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -2 \]

3. Проверим, все ли критические точки находятся в пределах отрезка \([-3; 1]\):

   • Критические точки \( x = 0 \) и \( x = -2 \) лежат внутри отрезка.

4. Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах отрезка:

   • \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 4 = -27 + 27 - 4 = -4 \]
   • \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 \]
   • \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 \]
   • \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \]

5. Сравниваем значения:

   • \( y(-3) = -4 \)
   • \( y(-2) = 0 \)
   • \( y(0) = -4 \)
   • \( y(1) = 0 \)

6. Наибольшее и наименьшее значения:

   • Наименьшее значение функции на отрезке \([-3; 1]\) равно \(-4\) (в точках \( x = -3 \) и \( x = 0 \)).
   • Наибольшее значение функции на отрезке равно \(0\) (в точках \( x = -2 \) и \( x = 1 \)).

Таким образом, наибольшее значение функции — \(0\), а наименьшее значение — \(-4\).