найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданом отрезке у=-х^3+3х^2-4,{-1;3}
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) на заданном отрезке \([-1, 3]\), следуйте следующим шагам:
- Вычисление производной: Найдите производную функции, чтобы определить критические точки, где функция может принимать максимальные или минимальные значения.
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 - 4) = -3x^2 + 6x \]
- Нахождение критических точек: Установите производную равной нулю и решите уравнение.
\[ -3x^2 + 6x = 0 \]
Факторизуем:
\[ -3x(x - 2) = 0 \]
Следовательно, критические точки:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \]
Проверка концов отрезка: Также необходимо оценить значения функции на границах отрезка \( x = -1 \) и \( x = 3 \).
Вычисление значений функции: Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка.
- Для \( x = -1 \):
\[ y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \]
- Для \( x = 0 \):
\[ y(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 - 4 = -4 \]
- Для \( x = 2 \):
\[ y(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 \]
- Для \( x = 3 \):
\[ y(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 - 4 = -27 + 27 - 4 = -4 \]
- Сравнение значений: Теперь сравним все найденные значения функции:
- \( y(-1) = 0 \)
- \( y(0) = -4 \)
- \( y(2) = 0 \)
- \( y(3) = -4 \)
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-1, 3]\) равно \(-4\), а наибольшее значение равно \(0\).
Ответ: Наибольшее значение функции - \(0\), наименьшее значение - \(-4\).
