найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданом отрезке у=-х^4+2х^2,{-2;2}
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = -x^4 + 2x^2 \) на заданном отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить несколько шагов.
Найдем производную функции. Это поможет нам определить критические точки, где функция может достигать своих экстремумов: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2) = -4x^3 + 4x \] Упростим производную: \[ y' = 4x(1 - x^2) \] Мы можем найти критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 4x(1 - x^2) = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Определим критические точки. Мы нашли три критические точки: \( x = -1 \), \( x = 0 \) и \( x = 1 \).
Выясним значения функции в критических точках и на границах отрезка. Посчитаем значение функции в точках \( x = -2, -1, 0, 1, 2 \).
При \( x = -2 \): \[ y(-2) = -(-2)^4 + 2(-2)^2 = -16 + 8 = -8 \]
При \( x = -1 \): \[ y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 = -1 + 2 = 1 \]
При \( x = 0 \): \[ y(0) = -0^4 + 2(0)^2 = 0 \]
При \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 = -1 + 2 = 1 \]
При \( x = 2 \): \[ y(2) = -(2)^4 + 2(2)^2 = -16 + 8 = -8 \]
Сравним значения. Мы вычислили следующее:
- \( y(-2) = -8 \)
- \( y(-1) = 1 \)
- \( y(0) = 0 \)
- \( y(1) = 1 \)
- \( y(2) = -8 \)
Наибольшее значение функции достигается в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \) и равно \( 1 \). Наименьшее значение достигается в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \) и равно \( -8 \).
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке \([-2; 2]\) равно \( 1 \), а наименьшее значение равно \( -8 \).
