При каких значениях n n равны значения выражений 7 n 2 − 19 n − 116 7n 2 −19n−116 и 16 n + 52 16n+52?
Чтобы найти значения \( n \), при которых выражения \( 7n^2 - 19n - 116 \) и \( 16n + 52 \) равны, необходимо приравнять их к друг другу и решить полученное уравнение:
\[ 7n^2 - 19n - 116 = 16n + 52. \]
Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:
\[ 7n^2 - 19n - 16n - 116 - 52 = 0. \]
Упростим это:
\[ 7n^2 - 35n - 168 = 0. \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем упростить его, разделив все члены на 7:
\[ n^2 - 5n - 24 = 0. \]
Теперь можно использовать формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант \( D \) определяется как:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \( a = 1 \), \( b = -5 \) и \( c = -24 \). Подставим эти значения:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121. \]
Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Рассмотрим корни по формуле:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставим значения:
\[ n = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 11}{2}. \]
Теперь найдем два корня:
- \( n_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8 \),
- \( n_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
Таким образом, значения \( n \), при которых оба выражения равны, равны \( n = 8 \) и \( n = -3 \).
