На сторонах AB,BC,СD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М,N,P и Q так,что АМ=СО,ВN=DP,NC=QA.Докажите,что ABCD и MNPQ-параллелограммы.

Чтобы доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ являются параллелограммами, воспользуемся свойствами параллелограмм и условиями задачи.

1. Исходные данные:

   • Пусть \( AM = CO \), \( BN = DP \) и \( NC = QA \).
   • Это означает, что отрезки AM и CO равны, отрезки BN и DP равны, и отрезки NC и QA также равны.

2. Первый этап: доказательство, что ABCD — параллелограмм:

   • По условию, у нас есть две пары противоположных сторон, которые равны:
     • \( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \), что уже указывает на то, что ABCD является параллелограммом.

3. Второй этап: использование свойств равных отрезков:

   • Теперь рассмотрим четырёхугольник MNPQ. Мы можем легко показать, что он также является параллелограммом. Зафиксируем стороны:
     • \( MN \) и \( PQ \) являются сторонами MN и PQ, соответственно.
     • \( M — A, N — B, P — C, Q — D \).

4. Точки соединений:

   • Расстояния между точками M и N равны расстояниям между точками P и Q, так как \( AM = CO \) и \( BN = DP \) по условию задачи.
   • Это будет означать, что \( MN \parallel PQ \) и \( MQ \parallel NP \) по свойству равенства противоположных сторон.

5. Заключение:

   • Так как четыре стороны MNPQ поочередно равны и параллельны (MN || PQ и MQ || NP), то по определению параллелограмма, MNPQ также является параллелограммом.

В итоге, мы показали, что оба четырехугольника ABCD и MNPQ являются параллелограммами, основываясь на свойствах равенства и параллельности сторон.