Имеет ли квадратный трёхчлен корени и если имеет, то сколько: 2x²-x-1

Чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен корни, и сколько их, мы можем использовать дискриминант. Квадратный трёхчлен имеет вид \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \).

Дискриминант (D) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим наши значения:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

Теперь рассмотрим значение дискриминанта:

1. Если \( D > 0 \), то квадратный трёхчлен имеет два различных корня.
2. Если \( D = 0 \), то есть один двойной корень.
3. Если \( D < 0 \), корней нет.

В нашем случае, так как \( D = 9 > 0 \), это означает, что у квадратного трёхчлена \( 2x^2 - x - 1 \) есть два различных корня.

Теперь можно найти их, используя формулу для корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения \( D \), \( a \), и \( b \):

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4} \]

Таким образом, у нас два корня:

1. \( x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \)
2. \( x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \)

Итак, квадратный трёхчлен \( 2x^2 - x - 1 \) имеет два корня: \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{2} \).