расстояние от поселка до турбазы составляет 24 км по реке. В 10.00 моторная лодка вышла на турбазу и в 17.00 этого же дня вернулась обратно. Какова собственная скорость лодки,если…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть моторная лодка, которая должна проплыть расстояние 24 км по реке, при этом скорость течения реки составляет 3 км/ч, а стоянка на турбазе длилась 1 час.

1. Определим общее время в пути: Лодка вышла в 10:00 и вернулась в 17:00, что составляет 7 часов. Из них 1 час лодка стояла на турбазе. Таким образом, время в пути составит: \[ 7 \text{ часов} - 1 \text{ час} = 6 \text{ часов} \]

2. Определим время в пути в одну сторону: Поскольку лодка потратила 6 часов на всю поездку, то в одну сторону она потратила: \[ \frac{6 \text{ часов}}{2} = 3 \text{ часа} \]

3. Определим скорость лодки: Пусть собственная скорость лодки равна \(v\) км/ч.

   • На пути к турбазе лодка движется вниз по течению, поэтому ее Effective скорость будет \(v + 3\) км/ч.
   • На обратном пути лодка движется вверх по течению, поэтому Effective скорость будет \(v - 3\) км/ч.

Зная, что расстояние до турбазы равно 24 км, мы можем записать два уравнения для времени в пути:

• Время вниз по течению: \[ t_1 = \frac{24}{v + 3} \]

• Время вверх по течению: \[ t_2 = \frac{24}{v - 3} \]

И поскольку общее время в одну сторону равняется 3 часам, у нас есть: \[ t_1 + t_2 = 3 \] То есть: \[ \frac{24}{v + 3} + \frac{24}{v - 3} = 3 \]

4. Решим уравнение: Умножим оба стороны уравнения на \((v + 3)(v - 3)\): \[ 24(v - 3) + 24(v + 3) = 3(v^2 - 9) \] \[ 24v - 72 + 24v + 72 = 3v^2 - 27 \] \[ 48v = 3v^2 - 27 \] Перепишем уравнение: \[ 3v^2 - 48v - 27 = 0 \] Теперь, используя формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -48\), \(c = -27\): \[ v = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-27)}}{2 \cdot 3} \] \[ v = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 324}}{6} \] \[ v = \frac{48 \pm \sqrt{2628}}{6} \] \[ v = \frac{48 \pm 51.28}{6} \]

Теперь найдем два возможных значения:

1. \(v = \frac{99.28}{6} \approx 16.55\) км/ч (принимаем, так как скорость должна быть положительной).
2. Второй корень будет отрицательным, что физически невозможно.

Таким образом, собственная скорость лодки составляет примерно 16.55 км/ч.