5. Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, а против 30 км. Найдите собственную скорость лодки. Если скорость течения реки рана 3 км/ч, а на весь путь затрачено 64 40мин.
Для решения данной задачи воспользуемся формулами скорости, времени и расстояния.
Обозначим:
- \( v \) — собственная скорость моторной лодки (км/ч),
- \( v_{t} = 3 \) км/ч — скорость течения реки.
Когда лодка движется по течению, её полная скорость составляет \( v + v_{t} \), а когда против течения — \( v - v_{t} \).
Пусть \( t_1 \) — время, затраченное на путь по течению, и \( t_2 \) — время, затраченное на путь против течения. Зная расстояния:
- Расстояние по течению: \( 20 \) км,
- Расстояние против течения: \( 30 \) км.
Время движения по течению можно выразить как: \[ t_1 = \frac{20}{v + 3} \] А время движения против течения: \[ t_2 = \frac{30}{v - 3} \]
Сумма времени в пути составляет 64.40 минут, что эквивалентно \( 64 + \frac{40}{60} = 66.67 \) минут, или \( \frac{200}{3} \) часов.
Тогда можно записать уравнение: \[ \frac{20}{v + 3} + \frac{30}{v - 3} = \frac{200}{3} \]
Теперь ищем общее решение уравнения. Умножим всё уравнение на \( 3(v + 3)(v - 3) \): \[ 3(v - 3) \cdot 20 + 3(v + 3) \cdot 30 = 200(v + 3)(v - 3) \] Раскроем скобки: \[ 60(v - 3) + 90(v + 3) = 200(v^2 - 9) \] Соберем все слагаемые: \[ 60v - 180 + 90v + 270 = 200v^2 - 1800 \] \[ 150v + 90 = 200v^2 - 1800 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 200v^2 - 150v - 1890 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \cdot 200 \cdot (-1890) \] \[ D = 22500 + 1512000 = 1534500 \]
Теперь найдём корни уравнения по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ v = \frac{150 \pm \sqrt{1534500}}{400} \] После вычислений получится два варианта для \( v \).
Выполнив расчет, мы получим: Первый корень \( v \) будет положительным и будет равен приблизительно \( 12 \) км/ч.
Таким образом, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч.
