5. Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, а против 30 км. Найдите собственную скорость лодки. Если скорость течения реки рана 3 км/ч, а на весь путь затрачено 6ч 40мин.

Для решения этой задачи давайте обозначим собственную скорость моторной лодки как \( v \) км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч, следовательно, скорость лодки по течению будет \( v + 3 \) км/ч, а против течения — \( v - 3 \) км/ч.

Лодка прошла 20 км по течению и 30 км против течения. Полное время в пути составляет 6 часов 40 минут, что равно \( 6 \frac{2}{3} \) часа или \( \frac{20}{3} \) часа.

Теперь можем записать уравнения на основе времени, затраченного на каждую часть пути:

1. Время, затраченное на движение по течению: \[ t_1 = \frac{20}{v + 3} \]

2. Время, затраченное на движение против течения: \[ t_2 = \frac{30}{v - 3} \]

Суммируя оба времени, получаем: \[ t_1 + t_2 = \frac{20}{v + 3} + \frac{30}{v - 3} = \frac{20}{3} \]

Теперь избавимся от дробей, умножив каждую часть уравнения на общий знаменатель \((v + 3)(v - 3)\): \[ 20(v - 3) + 30(v + 3) = \frac{20}{3} \cdot (v + 3)(v - 3) \]

Распределим и упростим уравнение: \[ 20v - 60 + 30v + 90 = \frac{20}{3}(v^2 - 9) \]

Это уравнение можно упростить до: \[ 50v + 30 = \frac{20}{3}v^2 - 60 \]

Переносим все в одну сторону: \[ \frac{20}{3}v^2 - 50v - 90 = 0 \]

Умножим все на 3, чтобы избавиться от дробей: \[ 20v^2 - 150v - 270 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-270) = 22500 + 21600 = 44100 \]

Теперь найдем корни: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{150 \pm 210}{40} \]

Это дает нам два значения:

1. \( v_1 = \frac{360}{40} = 9 \) км/ч
2. \( v_2 = \frac{-60}{40} = -1.5 \) км/ч (не имеет физического смысла)

Таким образом, собственная скорость моторной лодки составляет 9 км/ч.