Знайдіть координати середин сторін трикутнин 1) A (-3; 3), B (6; 6), C (3;-3); 2) A (2; -3), B (3; 0), C (-1; -2). Яка довжина медіани ВМ даного трикутника?
Для нахождения координат середин сторон треугольника, используем формулу для нахождения середины отрезка. Координаты середины отрезка, соединяющего две точки \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \), определяются по следующим формулам:
\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]
Теперь найдем середины сторон для каждого из указанных треугольников.
1) Для треугольника ABC с вершинами A (-3; 3), B (6; 6), C (3; -3):
Середина стороны AB: \[ M_{AB} = \left(\frac{-3 + 6}{2}, \frac{3 + 6}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right) = \left(1.5, 4.5\right) \]
Середина стороны BC: \[ M_{BC} = \left(\frac{6 + 3}{2}, \frac{6 - 3}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(4.5, 1.5\right) \]
Середина стороны CA: \[ M_{CA} = \left(\frac{3 - 3}{2}, \frac{-3 + 3}{2}\right) = \left(0, 0\right) \]
Итог: координаты середин сторон для первого треугольника:
- M_{AB} = (1.5, 4.5)
- M_{BC} = (4.5, 1.5)
- M_{CA} = (0, 0)
2) Для треугольника ABC с вершинами A (2; -3), B (3; 0), C (-1; -2):
Середина стороны AB: \[ M_{AB} = \left(\frac{2 + 3}{2}, \frac{-3 + 0}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\right) = \left(2.5, -1.5\right) \]
Середина стороны BC: \[ M_{BC} = \left(\frac{3 - 1}{2}, \frac{0 - 2}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (1, -1) \]
Середина стороны CA: \[ M_{CA} = \left(\frac{-1 + 2}{2}, \frac{-2 - 3}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{-5}{2}\right) = \left(0.5, -2.5\right) \]
Итог: координаты середин сторон для второго треугольника:
- M_{AB} = (2.5, -1.5)
- M_{BC} = (1, -1)
- M_{CA} = (0.5, -2.5)
Теперь, чтобы найти длину медианы \( BM \) (медиана, проведённая от вершины B к середине стороны AC), используем формулу длины отрезка, соединяющего две точки \( B(x_1, y_1) \) и \( M(x_2, y_2) \):
\[ BM = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Для второго треугольника координаты B (3, 0) и M_{CA} (0.5, -2.5). Подставим эти значения:
\[ BM = \sqrt{(0.5 - 3)^2 + (-2.5 - 0)^2} = \sqrt{(-2.5)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{6.25 + 6.25} = \sqrt{12.5} = 2.5\sqrt{2} \]
Таким образом, длина медианы \( BM \) равна \( 2.5\sqrt{2} \).
