√x+3

Чтобы решить неравенство \( \sqrt{x} + 3 < x + 1 \), начнем с приведения всех членов на одну сторону:

\[ \sqrt{x} + 3 - x - 1 < 0 \] \[ \sqrt{x} - x + 2 < 0 \]

Мы можем переписать это неравенство как \( \sqrt{x} < x - 2 \). Далее, чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны в квадрат, помня, что для этого необходимо удостовериться, что \( x - 2 \) не отрицательно (то есть \( x \geq 2 \), чтобы избежать потери решений):

\[ x < (x - 2)^2 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ x < x^2 - 4x + 4 \]

Перемещаем все на одну сторону:

\[ 0 < x^2 - 5x + 4 \]

Теперь разложим квадратное уравнение:

\[ 0 < (x - 1)(x - 4) \]

Данное неравенство будет выполняться, когда один из множителей положителен, а другой отрицателен. Чтобы это выяснить, найдем точки, где произведение равно нулю:

\[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] \[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]

Теперь рассмотрим интервалы:

1. \( (-\infty, 1) \) — оба множителя отрицательны, произведение положительное.
2. \( (1, 4) \) — первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательное.
3. \( (4, +\infty) \) — оба множителя положительны, произведение положительное.

Таким образом, решением нашего неравенства будет интервал \( (-\infty, 1) \) и \( (4, +\infty) \).

Однако мы также должны учитывать исходное условие (\( x \geq 0 \)) и то, что \( x - 2\) должно быть положительным, что ограничивает \( x \) значением \( x \geq 2 \).

Таким образом, окончательное решение:

\[ x \in (4, +\infty) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!