Середины рёбер KP, LR, KN, LM куба последовательно соединили так, что образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.

Question 1

Задача Задача №1553549

А

Аноним

19 сентября 2024 08:35 · публичный вопрос

А

Аноним 19 сентября 2024 08:35

Середины рёбер KP, LR, KN, LM куба последовательно соединили так, что образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.

Answer

Для начала, рассмотрим куб и его ребра. Пусть A, B, C, D, E, F, G, H — это вершины куба, где A и B — передняя грань, C и D — верхняя грань и так далее. Мы обозначим середины рёбер следующим образом:

KP — середина ребра AB
LR — середина ребра BC
KN — середина ребра AE
LM — середина ребра AD

Теперь найдем координаты середины этих рёбер. Если мы предположим, что куб находится в трехмерной системе координат, где A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), E(0, 0, 1), F(1, 0, 1), G(1, 1, 1), H(0, 1, 1):

Координаты середины KP: \[ P\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = P\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \]
Координаты середины LR: \[ L\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = L\left(1, \frac{1}{2}, 0\right) \]
Координаты середины KN: \[ K\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = K\left(0, \frac{1}{2}, 0\right) \]
Координаты середины LM: \[ M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right) \]

Теперь у нас есть координаты точек P, L, K, M. Мы будем доказывать, что четырехугольник PLKM является плоским и параллелограммом.

Для этого вычислим векторы:

Вектор PL: \( \overrightarrow{PL} = L - P = \left(1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \)
Вектор PK: \( \overrightarrow{PK} = K - P = \left(0 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \)

Теперь найдем вектор MK:

Вектор MK: \( \overrightarrow{MK} = K - M = \left(0 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 1, 0 - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right) \)

Для проверки, является ли PLMK параллелограммом, нужно проверить, равны ли векторы PL и MK.

Если у векторов PL и MK равны их координаты, то: \[ \overrightarrow{PL} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right), \quad \overrightarrow{MK} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right) \] Мы видим, что обе пары векторов равны по модулю, но имеют противоположные направления. Это подтверждает, что PL параллельно MK.

Таким образом, (PL || MK) и (PK || LM) означают, что четырехугольник PLKM является параллелограммом и лежит в одной плоскости.

Итак, мы доказали, что четырехугольник, образованный серединными точками рёбер KP, LR, KN, LM является плоским и параллелограммом.

Question 2

Середины рёбер KP, LR, KN, LM куба последовательно соединили так, что образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.

Answer

Для начала, рассмотрим куб и его ребра. Пусть A, B, C, D, E, F, G, H — это вершины куба, где A и B — передняя грань, C и D — верхняя грань и так далее. Мы обозначим середины рёбер следующим образом: - KP — середина ребра AB - LR — середина ребра BC - KN — середина ребра AE - LM — середина ребра AD Теперь найдем координаты середины этих рёбер. Если мы предположим, что куб находится в трехмерной системе координат, где A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), E(0, 0, 1), F(1, 0, 1), G(1, 1, 1), H(0, 1, 1): 1. **Координаты середины KP**: \[ P\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = P\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \] 2. **Координаты середины LR**: \[ L\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = L\left(1, \frac{1}{2}, 0\right) \] 3. **Координаты середины KN**: \[ K\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = K\left(0, \frac{1}{2}, 0\right) \] 4. **Координаты середины LM**: \[ M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right) \] Теперь у нас есть координаты точек P, L, K, M. Мы будем доказывать, что четырехугольник PLKM является плоским и параллелограммом. Для этого вычислим векторы: - Вектор PL: \( \overrightarrow{PL} = L - P = \left(1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \) - Вектор PK: \( \overrightarrow{PK} = K - P = \left(0 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \) Теперь найдем вектор MK: - Вектор MK: \( \overrightarrow{MK} = K - M = \left(0 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 1, 0 - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right) \) Для проверки, является ли PLMK параллелограммом, нужно проверить, равны ли векторы PL и MK. Если у векторов PL и MK равны их координаты, то: \[ \overrightarrow{PL} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right), \quad \overrightarrow{MK} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right) \] Мы видим, что обе пары векторов равны по модулю, но имеют противоположные направления. Это подтверждает, что PL параллельно MK. Таким образом, (PL || MK) и (PK || LM) означают, что четырехугольник PLKM является параллелограммом и лежит в одной плоскости. Итак, мы доказали, что четырехугольник, образованный серединными точками рёбер KP, LR, KN, LM является плоским и параллелограммом.