Решить задачи с помощью схемы бернулли : №1 Симметричную монету бросают 22 раза. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 10 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 9 орлов»? №2 Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»? №3 Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени»?

Для решения задач с помощью схемы Бернулли будем использовать формулу для вычисления вероятностей:

\[ P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \(P(k)\) — вероятность того, что событие произошло ровно \(k\) раз,
• \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) — биномиальный коэффициент,
• \(p\) — вероятность успеха (выпадение орла),
• \(n\) — общее количество испытаний,
• \(k\) — количество успехов (количество орлов).

Теперь решим задачи по порядку.

Задача #1

Симметричную монету бросают 22 раза. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 10 орлов» (\(P(10)\)) больше вероятности события «выпадет ровно 9 орлов» (\(P(9)\))?

Шаг 1: Вычислим вероятности.

• \(n = 22\)
• \(p = 0.5\)

Сначала найдем \(P(10)\): \[ P(10) = C(22, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{12} = C(22, 10) \cdot (0.5)^{22} \]

Теперь найдем \(P(9)\): \[ P(9) = C(22, 9) \cdot (0.5)^{9} \cdot (0.5)^{13} = C(22, 9) \cdot (0.5)^{22} \]

Теперь, чтобы найти во сколько раз \(P(10)\) больше, мы делим: \[ \frac{P(10)}{P(9)} = \frac{C(22, 10)}{C(22, 9)} = \frac{22! / (10! \cdot 12!)}{22! / (9! \cdot 13!)} = \frac{13}{10} \]

Следовательно, вероятность события «выпадет ровно 10 орлов» больше, чем вероятность события «выпадет ровно 9 орлов» в 1.3 раз.

Задача #2

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» (\(P(5)\)) больше вероятность события «выпадет ровно 4 орла» (\(P(4)\))?

Шаг 1: Вычислим вероятности.

• \(n = 10\)
• \(p = 0.5\)

Сначала найдем \(P(5)\): \[ P(5) = C(10, 5) \cdot (0.5)^{10} \]

Теперь найдем \(P(4)\): \[ P(4) = C(10, 4) \cdot (0.5)^{10} \]

Делим: \[ \frac{P(5)}{P(4)} = \frac{C(10, 5)}{C(10, 4)} = \frac{10! / (5! \cdot 5!)}{10! / (4! \cdot 6!)} = \frac{6}{5} \]

Следовательно, вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше, чем вероятность события «выпадет ровно 4 орла» в 1.2 раза.

Задача #3

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, с вероятностью 0,6 на каждые 2 выстрела. Поэтому, каждая мишень может быть поражена 0, 1 или 2 раз.

Необходимо найти вероятность «поразить ровно 3 мишени» (\(P(3)\)) и «поразить ровно 2 мишени» (\(P(2)\)).

Шаг 1: Вычисляем вероятности.

• Количество испытаний \(n = 5\) (мишеней)
• Вероятность «поразить мишень одним выстрелом»:
  • \(p = 0.6\)
  • Вероятность не поразить мишень за два выстрела:
  • \(P(не поразить) = (1 - 0.6)(1 - 0.6) = 0.4 \cdot 0.4 = 0.16\)
  • Следовательно:
  • Вероятность поразить за два выстрела:
  • \(r = 1 - 0.16 = 0.84\)

Найдем \(P(3)\): \[ P(3) = C(5, 3) \cdot (0.84)^3 \cdot (0.16)^2 \]

Теперь найдем \(P(2)\): \[ P(2) = C(5, 2) \cdot (0.84)^2 \cdot (0.16)^3 \]

Далее мы берем отношение: \[ \frac{P(3)}{P(2)} = \frac{C(5, 3) \cdot (0.84)^3 \cdot (0.16)^2}{C(5, 2) \cdot (0.84)^2 \cdot (0.16)^3} = \frac{\frac{5!}{3!2!}}{\frac{5!}{2!3!}} \cdot \frac{0.84}{0.16} = \frac{10}{1} \cdot \frac{0.84}{0.16} \] \[ = 10 \cdot 5.25 = 52.5 \]

Следовательно, вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше, чем вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» в 52.5 раз.

Ответы:

1. 1.3 раз
2. 1.2 раз
3. 52.5 раз