В чемпионате мира участвуют 10 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по две команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп…
В чемпионате мира участвуют 10 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по две команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того что команда Канады окажется в первой группе?
Для решения этой задачи сперва определим общее количество способов, которыми Канада может оказаться в первой группе и общее количество способов распределения карточек.
Общее количество способов распределения карточек: У нас есть 10 команд и 10 карточек, распределенных по группам следующим образом: 2 карточки для каждой из 5 групп (группы 1, 2, 3, 4, 5). Так как карточки внутри групп неразличимы, общее количество способов, которыми можно распределить эти карточки, можно посчитать по формуле: \[ \frac{10!}{2!2!2!2!2!} \] где \(10!\) — факториал от 10 (все возможные перестановки 10 команд), а каждый \(2!\) — это факториал от 2 (так как внутри каждой группы карточки неразличимы).
Количество способов, при которых Canada оказывается в первой группе: Если Канада уже заняла одно из мест в группе 1, то остается только тянуть одну карточку из оставшихся 9 команд, и одна карточка в первой группе уже занята. Таким образом, нам нужно выбрать 1 команду из оставшихся 9 для второй позиции в первой группе, и затем распределить оставшиеся 8 команд по 4 группам:
- Количество способов выбрать вторую команду для группы 1 из 9: \[ \binom{9}{1} = 9 \]
- После этого у нас остаются 8 команд и 8 карточек (по 2 для каждой из 4 оставшихся групп), которые нужно распределить. Общее количество способов: \[ \frac{8!}{2!2!2!2!} \]
Таким образом, общее количество успешных исходов, когда Канада оказывается в группе 1: \[ 9 \times \frac{8!}{2!2!2!2!} \]
- Вероятность того, что Канада окажется в группе 1: Вероятность будет равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P(\text{Канада в группе 1}) = \frac{9 \times \frac{8!}{2!2!2!2!}}{\frac{10!}{2!2!2!2!2!}}. \]
Упрощаем дробь: \[ P(\text{Канада в группе 1}) = \frac{9 \times 8! \times 2!}{10!}, \] где \(10! = 10 \times 9 \times 8!\). Тогда: \[ P(\text{Канада в группе 1}) = \frac{9 \times 2!}{10 \times 9} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}. \]
Таким образом, вероятность того, что команда Канады окажется в первой группе, равна \(\frac{1}{5}\) или 20%.
