324. Отметьте на координатной плоскости точки М (-4; 6), N(6; 1), K(-8; -2) и L(7; 3). Проведите прямые MN и KL. Найдите координаты точки пересечения: а) прямых MN и KL;
Чтобы решить задачу, начнем с того, что отметим заданные точки на координатной плоскости:
- Точка М (-4; 6)
- Точка N (6; 1)
- Точка K (-8; -2)
- Точка L (7; 3)
Теперь мы проведем прямые MN и KL. Для этого сначала найдем уравнения этих прямых.
Шаг 1: Уравнение прямой MN
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки (M и N), используем формулу для нахождения углового коэффициента (k):
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Подставим координаты точек M и N:
\[ k_{MN} = \frac{1 - 6}{6 - (-4)} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2} \]
Теперь, зная угловой коэффициент, воспользуемся формой уравнения прямой:
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]
Подставляем координаты точки M (-4; 6):
\[ y - 6 = -\frac{1}{2}(x + 4) \]
Упрощаем:
\[ y - 6 = -\frac{1}{2}x - 2 \] \[ y = -\frac{1}{2}x + 4 \]
Шаг 2: Уравнение прямой KL
Теперь сделаем то же самое для прямой KL:
\[ k_{KL} = \frac{3 - (-2)}{7 - (-8)} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \]
Формула уравнения:
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]
Используем координаты точки K (-8; -2):
\[ y - (-2) = \frac{1}{3}(x + 8) \]
Упрощаем:
\[ y + 2 = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3} \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3} - 2 \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \]
Шаг 3: Найти точку пересечения MN и KL
Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:
- \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \)
- \( y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)
Приравняем правые части:
\[ -\frac{1}{2}x + 4 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \]
Умножим все на 6, чтобы избавиться от дробей:
\[ -3x + 24 = 2x + 4 \]
Соберем все x в одной части:
\[ 24 - 4 = 2x + 3x \] \[ 20 = 5x \] \[ x = 4 \]
Теперь найдем y, подставив значение x в одно из уравнений, например, в первое:
\[ y = -\frac{1}{2}(4) + 4 = -2 + 4 = 2 \]
Ответ:
Координаты точки пересечения прямых MN и KL: (4; 2).
