В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К – середина ребра АА1, точка М - середина ребра СС₁. Докажите, что прямая КВ1 параллельна прямой DM.

Для того чтобы доказать, что прямая \(KB_1\) параллельна прямой \(DM\) в прямоугольном параллелепипеде \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), рассмотрим расположение точек и векторов.

1. Обозначим координаты вершин параллелепипеда:

   • \(A(0, 0, 0)\)
   • \(B(a, 0, 0)\)
   • \(C(a, b, 0)\)
   • \(D(0, b, 0)\)
   • \(A_1(0, 0, c)\)
   • \(B_1(a, 0, c)\)
   • \(C_1(a, b, c)\)
   • \(D_1(0, b, c)\)

2. Определим координаты точек \(K\) и \(M\):

   • Точка \(K\) является серединой ребра \(AA_1\), поэтому: \[ K\left(0, 0, \frac{c}{2}\right) \]
   • Точка \(M\) является серединой ребра \(CC_1\), поэтому: \[ M\left(a, b, \frac{c}{2}\right) \]

3. Найдем векторы:

   • Вектор \(KB_1\): \[ KB_1 = B_1 - K = \left(a, 0, c\right) - \left(0, 0, \frac{c}{2}\right) = \left(a, 0, c - \frac{c}{2}\right) = \left(a, 0, \frac{c}{2}\right) \]
   • Вектор \(DM\): \[ DM = M - D = \left(a, b, \frac{c}{2}\right) - \left(0, b, 0\right) = \left(a, b - b, \frac{c}{2}\right) = \left(a, 0, \frac{c}{2}\right) \]

4. Сравним векторы \(KB_1\) и \(DM\): Обе вектора имеют одинаковое направление: \[ KB_1 = \left(a, 0, \frac{c}{2}\right) \quad \text{и} \quad DM = \left(a, 0, \frac{c}{2}\right) \] Это показывает, что они лежат на одной и той же прямой, что указывает на их параллельность.

Таким образом, мы доказали, что прямая \(KB_1\) параллельна прямой \(DM\).