доказать, что a=18^4+52^3+84^4+14 делится на m=17

Чтобы доказать, что \( a = 18^4 + 52^3 + 84^4 + 14 \) делится на \( m = 17 \), будем работать с каждым слагаемым по отдельности, используя свойства остатков при делении на \( 17 \).

1. Смотрим на \( 18^4 \): \[ 18 \equiv 1 \mod 17 \] Тогда: \[ 18^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \mod 17 \]

2. Далее \( 52^3 \): \[ 52 \equiv 1 \mod 17 \] Таким образом: \[ 52^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod 17 \]

3. Теперь \( 84^4 \): \[ 84 \equiv 16 \mod 17 \] И учитывая, что \( 16 \equiv -1 \mod 17 \), получаем: \[ 84^4 \equiv (-1)^4 \equiv 1 \mod 17 \]

4. Последнее слагаемое \( 14 \): \[ 14 \equiv 14 \mod 17 \]

Теперь сложим все остатки: \[ a \equiv 1 + 1 + 1 + 14 \mod 17 \] \[ a \equiv 17 \mod 17 \] \[ a \equiv 0 \mod 17 \]

Это доказывает, что \( a \) делится на \( m \). Таким образом, \( a = 18^4 + 52^3 + 84^4 + 14 \) действительно делится на \( 17 \).