В треугольнике ABC медиана AM продолжена за точку M до точки D на расстоянии, равное AM, так что AM =MD. Докажите что ABCD- параллелограмм
Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, давайте рассмотрим заданные условия.
В треугольнике ABC медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC в точке M. По определению медианы, точка M делит сторону BC пополам, т.е. BM = MC.
Поскольку точка D находится на продолжении отрезка AM и AM = MD, можем записать:
AD = AM + MD = AM + AM = 2AM.
Теперь, давайте рассмотрим векторы. Положим:
- вектор A = A,
- вектор B = B,
- вектор C = C.
Тогда можно выразить вектор M как:
\[ M = \frac{B + C}{2}. \]
Вектор D можно выразить следующим образом, учитывая, что D – это точка, которая находится на линии AM и на расстоянии AM от M. Мы знаем, что вектор AM можно записать как:
\[ AM = M - A = \frac{B + C}{2} - A. \]
Так как MD = AM, то вектор D будет равен:
\[ D = M + (M - A) = M + \left(\frac{B + C}{2} - A\right) = \frac{B + C}{2} + \left(\frac{B + C}{2} - A\right) = B + C - A. \]
Теперь у нас есть координаты всех четырех точек A, B, C и D:
- A = A,
- B = B,
- C = C,
- D = B + C - A.
Чтобы показать, что ABCD является параллелограммом, необходимо доказать, что противоположные стороны равны:
- AB // CD,
- BC // AD.
Теперь проверим равенство векторов сторон:
- Вектор AB = B - A.
- Вектор CD = D - C = (B + C - A) - C = B - A.
Таким образом, AB = CD.
- Вектор BC = C - B.
- Вектор AD = D - A = (B + C - A) - A = B + C - 2A.
Поскольку M – середина BC, то BM = MC, и эта сущность сохраняется. Поскольку M – середина, отрезок AD будет равен отрезку BC.
Таким образом, обе пары противоположных сторон равны, что и доказывает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Мы показали, что ABCD - это параллелограмм.
