записать комплексное число: 1) в тригонометрической форме 2) в показательной форме a) z=-2 б) z=2i в) z=-√2+i√2
Конечно! Давайте разберем, как записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.
1) z = -2
Тригонометрическая форма:
Комплексное число z = x + iy = -2 + 0i. Здесь x = -2, y = 0.
Для нахождения модуля r и аргумента φ используем следующие формулы:
- Модуль: \( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 \)
- Аргумент: \( φ = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \)
Так как y = 0 и x < 0, аргумент равен π.
Таким образом, тригонометрическая форма: \[ z = r(\cos φ + i \sin φ) = 2 \left( \cos(π) + i \sin(π) \right) \]
Показательная форма: \[ z = re^{iφ} = 2 e^{iπ} \]
2) z = 2i
Тригонометрическая форма:
Комплексное число z = 0 + 2i. Здесь x = 0, y = 2.
- Модуль: \( r = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \)
- Аргумент: Поскольку x = 0 и y > 0, аргумент равен \( \frac{π}{2} \).
Тригонометрическая форма: \[ z = r(\cos φ + i \sin φ) = 2 \left( \cos\left(\frac{π}{2}\right) + i \sin\left(\frac{π}{2}\right) \right) \]
Показательная форма: \[ z = re^{iφ} = 2 e^{i \frac{π}{2}} \]
3) z = -√2 + i√2
Тригонометрическая форма:
Здесь x = -√2 и y = √2.
- Модуль: \( r = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (√2)^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \)
- Аргумент: Используем арктангенс: \( φ = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{√2}{-\sqrt{2}}\right) = \arctan(-1) \)
Так как x < 0 и y > 0, аргумент находится во втором квадранте: \[ φ = π - \frac{π}{4} = \frac{3π}{4} \]
Тригонометрическая форма: \[ z = r(\cos φ + i \sin φ) = 2\left( \cos\left(\frac{3π}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3π}{4}\right) \right) \]
Показательная форма: \[ z = re^{iφ} = 2 e^{i \frac{3π}{4}} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
