9 класс

Привет! Давай разберём задачу вместе.

В задании 1 нужно решить систему уравнений. Давай начнем с первого подзадания.

1) \[ \begin{cases} x + \frac{3}{y} = 10 \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 6 \end{cases} \]

Чтобы решить эту систему, сначала выразим \( \frac{1}{y} \) из первого уравнения:

\[ \frac{3}{y} = 10 - x \implies \frac{1}{y} = \frac{10 - x}{3} \]

Теперь подставим это во второе уравнение:

\[ \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{10 - x}{3} = 6 \]

Упростим уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{20 - 2x}{3} = 6 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{3 + 20x - 2x^2}{3x} = 6 \]

Получаем:

\[ 3 + 20x - 2x^2 = 18x \]

Приводим уравнение к виду \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ -2x^2 + 2x + 3 = 0, \]

\[ 2x^2 - 2x - 3 = 0. \]

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 4 + 24 = 28. \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2} \]

Итак, \( x \) может быть \( \frac{1 + \sqrt{7}}{2} \) или \( \frac{1 - \sqrt{7}}{2} \).

Теперь найдём \( y \):

\[ \frac{1}{y} = \frac{10 - x}{3}. \]

Если \( x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2} \), то:

\[ y = \frac{3}{10 - \frac{1 + \sqrt{7}}{2}}. \]

Упростим:

\[ y = \frac{6}{19 - \sqrt{7}}. \]

Аналогично можно найти \( y \) для второго значения \( x = \frac{1 - \sqrt{7}}{2} \).

Итак, мы нашли \( x \) и \( y \) в зависимости от значений дискриминанта. Эти решения дают нам полный ответ на задачу.

Если у тебя остались вопросы или что-то непонятно, дай знать! Вместе разберёмся!