В конце склона горы длиной 100 м лыжник развил скорость 8 м/с. Определите начальную скорость и ускорение, с которым он двигался, если спуск длился 20 с.
Чтобы определить начальную скорость и ускорение лыжника, будем использовать уравнение движения с постоянным ускорением:
\[ s = v_0 t + \frac{a t^2}{2} \]
где:
- \( s \) — расстояние (100 м),
- \( v_0 \) — начальная скорость (неизвестно),
- \( a \) — ускорение (неизвестно),
- \( t \) — время (20 с).
Также у нас есть конечная скорость (\( v \)) лыжника:
\[ v = v_0 + a t \]
где \( v = 8 \, м/с \).
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( 100 = v_0 \cdot 20 + \frac{a \cdot 20^2}{2} \)
- \( 8 = v_0 + a \cdot 20 \)
Теперь подставим значение времени в первое уравнение:
\[ 100 = v_0 \cdot 20 + 200a \]
Теперь упростим:
\[ 100 = 20v_0 + 200a \quad (1) \]
Теперь второе уравнение:
\[ 8 = v_0 + 20a \quad (2) \]
Теперь выразим \( a \) из второго уравнения:
\[ 20a = 8 - v_0 \] \[ a = \frac{8 - v_0}{20} \quad (3) \]
Теперь подставим выражение (3) в уравнение (1):
\[ 100 = 20v_0 + 200 \cdot \frac{8 - v_0}{20} \]
Упрощаем:
\[ 100 = 20v_0 + 40(8 - v_0) \] \[ 100 = 20v_0 + 320 - 40v_0 \] \[ 100 = 320 - 20v_0 \] \[ 20v_0 = 320 - 100 \] \[ 20v_0 = 220 \] \[ v_0 = 11 \, м/с \]
Теперь подставим значение \( v_0 \) в уравнение (2), чтобы найти \( a \):
\[ 8 = 11 + 20a \] \[ 20a = 8 - 11 \] \[ 20a = -3 \] \[ a = -\frac{3}{20} = -0.15 \, м/с^2 \]
Таким образом, начальная скорость лыжника составила \( 11 \, м/с \), а ускорение — \( -0.15 \, м/с^2 \).
