Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен 2/9. Найдите площадь треугольника, если его гипотенуза равна 2√85 см.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины его катетов. У нас есть информация о тангенсе острого угла и длине гипотенузы.

Дан тангенс острого угла \( \alpha \): \[ \tan(\alpha) = \frac{2}{9} \] Это означает, что отношение противолежащего катета (обозначим его \( a \)) к прилежащему катету (обозначим его \( b \)) равно \( \frac{2}{9} \): \[ \frac{a}{b} = \frac{2}{9} \implies a = \frac{2}{9}b \]

Гипотенуза \( c \) равна \( 2\sqrt{85} \). По теореме Пифагора мы знаем, что: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставляем значения \( c \): \[ a^2 + b^2 = (2\sqrt{85})^2 = 4 \times 85 = 340 \]

Теперь подставим \( a = \frac{2}{9}b \) в уравнение Пифагора: \[ \left(\frac{2}{9}b\right)^2 + b^2 = 340 \] \[ \frac{4}{81}b^2 + b^2 = 340 \]

Объединим члены: \[ \frac{4}{81}b^2 + \frac{81}{81}b^2 = 340 \] \[ \frac{85}{81}b^2 = 340 \]

Умножим обе стороны на \( \frac{81}{85} \): \[ b^2 = 340 \times \frac{81}{85} \] \[ b^2 = \frac{27540}{85} = 324 \]

Теперь найдём \( b \): \[ b = \sqrt{324} = 18 \]

Теперь найдем \( a \): \[ a = \frac{2}{9}b = \frac{2}{9} \times 18 = 4 \]

Теперь у нас есть длины катетов \( a = 4 \) см и \( b = 18 \) см. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} a b \] \[ S = \frac{1}{2} \times 4 \times 18 = 36 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника равна \( 36 \text{ см}^2 \).