Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 7,а произведение этих членов равно 10. Найдите прогрессию

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии как \( d \). Тогда второй член (первая позиция + разность) и четвертый член (три разности + первая позиция) будут равны:

• Второй член: \( a + d \)
• Четвертый член: \( a + 3d \)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Сумма второго и четвертого членов: \[ (a + d) + (a + 3d) = 7 \] Это можно упростить до: \[ 2a + 4d = 7 \quad \text{(1)} \]

2. Произведение второго и четвертого членов: \[ (a + d)(a + 3d) = 10 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + 3ad + ad + 3d^2 = 10 \] Упрощаем: \[ a^2 + 4ad + 3d^2 = 10 \quad \text{(2)} \]

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2).

Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ 2a = 7 - 4d \Rightarrow a = \frac{7 - 4d}{2} \]

Теперь подставим это значение \( a \) в уравнение (2): \[ \left(\frac{7 - 4d}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{7 - 4d}{2}\right)d + 3d^2 = 10 \]

Упростим: \[ \frac{(7 - 4d)^2}{4} + 2(7 - 4d)d + 3d^2 = 10 \] Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ (7 - 4d)^2 + 8(7 - 4d)d + 12d^2 = 40 \]

Раскроем скобки: \[ 49 - 56d + 16d^2 + 56d - 32d^2 + 12d^2 = 40 \] Соберем подобные члены: \[ (49 - 40) + (16d^2 - 32d^2 + 12d^2) = 0 \] \[ 9 - 4d^2 = 0 \]

Теперь решим уравнение: \[ 4d^2 = 9 \Rightarrow d^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow d = \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad d = -\frac{3}{2} \]

Теперь подставим найденные значения \( d \) обратно в выражение для \( a \).

1. Если \( d = \frac{3}{2} \): \[ a = \frac{7 - 4 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{7 - 6}{2} = \frac{1}{2} \] Таким образом, прогрессия будет: \[ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{3}{2}, \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{3}{2} \] Или: \[ \frac{1}{2}, \frac{2}{2} + 3 = 2, \frac{1}{2} + 6 = 6 \quad \text{(в частности: } \frac{1}{2}, 2, 3.5, 5\text{)} \]

2. Если \( d = -\frac{3}{2} \): \[ a = \frac{7 - 4 \cdot (-\frac{3}{2})}{2} = \frac{7 + 6}{2} = \frac{13}{2} \] Таким образом, прогрессия будет: \[ \frac{13}{2}, \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = 5, \frac{13}{2} - 3 = 1 \]

В итоге у нас есть две возможные арифметические прогрессии:

1. \( \frac{1}{2}, 2, 5 \)
2. \( \frac{13}{2}, 5, 1 \)

Надеюсь, это поможет вам понять, как решить задачу!