В столярный мастерской работают мастер и его ученик, за сколько дней мастер может изготовить кресло, если ученик на изготовление кресло тратит на 9 дней больше, вем мастер, а работая одновременно, они могут эту работу сделать за 6 дней
Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
Обозначим время, за которое мастер изготовит кресло, как \( x \) (в днях). Тогда ученик будет тратить на это кресло \( x + 9 \) дней.
Если мастер делает кресло за \( x \) дней, то он за 1 день изготовит \( \frac{1}{x} \) кресла. Ученик за \( x + 9 \) дней сделает \( \frac{1}{x + 9} \) кресла за 1 день.
Когда они работают вместе, их совместная работа за один день составит:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} \]
По условию задачи, вместе они делают кресло за 6 дней, значит их совместная работа за один день равна \( \frac{1}{6} \) кресла. Так, мы можем записать уравнение:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{6} \]
Теперь решим это уравнение. Для начала, найдём общий знаменатель для левой части:
\[ \frac{(x + 9) + x}{x(x + 9)} = \frac{2x + 9}{x(x + 9)} = \frac{1}{6} \]
Далее, произведём перекрестное умножение:
\[ 6(2x + 9) = x(x + 9) \]
Раскроем скобки:
\[ 12x + 54 = x^2 + 9x \]
Переносим все термины в одну сторону:
\[ x^2 - 3x - 54 = 0 \]
Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Для нашего уравнения:
- \( a = 1 \)
- \( b = -3 \)
- \( c = -54 \)
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{3 \pm 15}{2} \]
Таким образом, у нас два решения:
- \( x = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( x = \frac{-12}{2} = -6 \) (это решение мы отбрасываем, так как время не может быть отрицательным)
Таким образом, мастер изготовляет кресло за 9 дней.
Теперь, чтобы узнать, сколько дней требуется ученику, подставим значение \( x \):
\( x + 9 = 9 + 9 = 18 \) дней.
Итак, мастер может изготовить кресло за 9 дней, а ученик — за 18 дней.
