Упростите выражение, если n натуральное число: 7^n+1 + 7^n/8^n+1 × 2^n/28^-n
Давайте упростим данное выражение:
\[ \frac{7^{n+1} + 7^n}{8^{n+1}} \times \frac{2^n}{28^{-n}}. \]
- Сначала разберемся с первой частью \(\frac{7^{n+1} + 7^n}{8^{n+1}}\). Мы можем вынести \(7^n\) за скобки:
\[ 7^{n+1} + 7^n = 7^n(7 + 1) = 7^n \cdot 8. \]
Таким образом, первая часть становится:
\[ \frac{7^n \cdot 8}{8^{n+1}}. \]
- Упрощаем эту дробь:
\[ \frac{7^n \cdot 8}{8 \cdot 8^n} = \frac{7^n}{8^n} = \left( \frac{7}{8} \right)^n. \]
- Теперь разберемся со второй частью \(\frac{2^n}{28^{-n}}\):
\[ 28^{-n} = \frac{1}{28^n} \implies \frac{2^n}{28^{-n}} = 2^n \cdot 28^n = 2^n \cdot (4 \cdot 7)^n = 2^n \cdot 4^n \cdot 7^n. \]
Здесь \(4^n = (2^2)^n = 2^{2n}\), следовательно:
\[ 2^n \cdot 4^n = 2^n \cdot 2^{2n} = 2^{3n}. \]
Таким образом, вторая часть становится:
\[ 2^{3n} \cdot 7^n. \]
- Теперь объединим обе части:
\[ \left( \frac{7}{8} \right)^n \cdot 2^{3n} \cdot 7^n = \left( \frac{7}{8} \cdot 7 \cdot 2^3 \right)^n = \left( \frac{7^2 \cdot 8}{8} \right)^n = \left( \frac{49}{8} \right)^n. \]
Итак, окончательно мы получаем:
\[ \left( \frac{49}{8} \right)^n. \]
Это и есть упрощенное выражение. Если у вас есть еще вопросы или нужно пояснить какой-то шаг подробнее, не стесняйтесь спрашивать!
