В подъезде горит 5 лампочек. Вероятность, что любая лампочка не сгорит в течение ближайшего месяца, равна 0,2. Какова вероятность, что в течение месяца сгорят все лампочки?

Пусть \( p = 0.2 \) — вероятность, что лампочка не сгорит. Тогда вероятность, что лампочка сгорит, равна \( 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8 \).

Поскольку в подъезде 5 лампочек, и мы предполагаем, что сгорание лампочек независимо, вероятность того, что все 5 лампочек сгорят, равна:

\[ P(\text{все сгорят}) = (0.8)^5 \]

Теперь вычислим \( (0.8)^5 \):

\[ (0.8)^5 = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \] \[ 0.8^2 = 0.64 \] \[ 0.8^3 = 0.64 \times 0.8 = 0.512 \] \[ 0.8^4 = 0.512 \times 0.8 = 0.4096 \] \[ 0.8^5 = 0.4096 \times 0.8 = 0.32768 \]

Таким образом, вероятность того, что в течение месяца сгорят все 5 лампочек, равна \( 0.32768 \) или \( 32.768\% \).