В подъезде горит 5 лампочек. Вероятность, что любая лампочка не сгорит в течение ближайшего месяца, равна 0,2. Какова вероятность, что в течение месяца сгорят все лампочки?

Вероятность того, что лампочка не сгорит, равна \( p = 0.2 \). Следовательно, вероятность того, что лампочка сгорит, равна \( q = 1 - p = 0.8 \).

Мы ищем вероятность того, что все 5 лампочек сгорят. Это происходит, если каждая из 5 лампочек сгорит, и мы можем использовать формулу для независимых событий:

\[ P(\text{все сгорят}) = q^n \]

где \( n \) — количество лампочек, в нашем случае \( n = 5 \).

Подставим значение:

\[ P(\text{все сгорят}) = (0.8)^5 \]

Теперь вычислим \( (0.8)^5 \):

\[ (0.8)^5 = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.32768 \]

Таким образом, вероятность того, что в течение месяца сгорят все 5 лампочек, составляет \( 0.32768 \) или около \( 32.77\% \).