В подъезде горит 5 лампочек. Вероятность, что любая лампочка не сгорит в течение ближайшего месяца, равна 0,2. Какова вероятность, что в течении месяца сгорит ровно одна лампочка?
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать биномиальное распределение.
Обозначим:
- \( n = 5 \) — общее количество лампочек,
- \( p = 0.8 \) — вероятность того, что лампочка сгорит (так как вероятность того, что она не сгорит, равна \( 0.2 \)),
- \( k = 1 \) — количество лампочек, которые мы хотим, чтобы сгорели.
Вероятность того, что сгорит ровно \( k \) лампочек из \( n \) можно вычислить по формуле биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Для нашей задачи это будет:
- Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(5, 1) \):
\[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5 \]
- Подставляем значения в формулу:
\[ P(X = 1) = C(5, 1) \cdot p^1 \cdot (1-p)^{5-1} = 5 \cdot 0.8^1 \cdot 0.2^{4} \]
Теперь вычисляем \( 0.2^4 \):
\[ 0.2^4 = 0.0016 \]
Теперь подставляем значения:
\[ P(X = 1) = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 = 5 \cdot 0.00128 = 0.0064 \]
Таким образом, вероятность того, что в течение месяца сгорит ровно одна лампочка, равна \( 0.0064 \) или \( 0.64\% \).
