В подъезде горит 5 лампочек. Вероятность, что любая лампочка не сгорит в течение ближайшего месяца, равна 0,2. Какова вероятность, что в течении месяца сгорит ровно одна лампочка?
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Обозначим:
- \( n = 5 \) (количество лампочек),
- \( p = 0.8 \) (вероятность, что лампочка сгорит, равная \( 1 - 0.2 \)),
- \( k = 1 \) (количество сгоревших лампочек, которое мы хотим найти).
Вероятность того, что ровно \( k \) лампочек сгорит, можно вычислить по формуле биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \).
Теперь подставим наши значения в формулу:
Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5 - 1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5 \]
Подставим значения в формулу: \[ P(X = 1) = C(5, 1) \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^{5 - 1} \]
Вычислим: \[ P(X = 1) = 5 \cdot 0.8 \cdot (0.2)^4 \]
Теперь найдем \( (0.2)^4 \): \[ (0.2)^4 = 0.0016 \]
Подставляем обратно в уравнение: \[ P(X = 1) = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 \] \[ P(X = 1) = 5 \cdot 0.00128 = 0.0064 \]
Таким образом, вероятность того, что в течение месяца сгорит ровно одна лампочка, равна \( 0.0064 \) или \( 0.64\% \).
