сумма второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 7, а произведение этих членов равно 10. Найдите прогрессию.
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как \(a\), а разность прогрессии как \(d\).
Таким образом, второй член будет равен \(a + d\), а четвёртый член будет равен \(a + 3d\).
Мы знаем, что сумма второго и четвёртого членов равна 7:
\[ (a + d) + (a + 3d) = 7 \]
Это можно упростить:
\[ 2a + 4d = 7 \quad \text{(1)} \]
Также у нас есть условие про произведение этих членов, которое равно 10:
\[ (a + d)(a + 3d) = 10 \]
Распишем это уравнение:
\[ a^2 + 3ad + ad + 3d^2 = 10 \]
Сложив подобные члены, мы получаем:
\[ a^2 + 4ad + 3d^2 = 10 \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Мы начнем решать систему.
Из (1) выразим \(a\):
\[ 2a + 4d = 7 \implies a = \frac{7 - 4d}{2} \]
Подставим это значение в (2):
\[ \left(\frac{7 - 4d}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{7 - 4d}{2}\right)d + 3d^2 = 10 \]
Упростим это уравнение:
\[ \frac{(7 - 4d)^2}{4} + \frac{4(7 - 4d)d}{2} + 3d^2 = 10 \]
Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ (7 - 4d)^2 + 8(7 - 4d)d + 12d^2 = 40 \]
Раскроем скобки:
\[ 49 - 56d + 16d^2 + 56d - 32d^2 + 12d^2 = 40 \]
Соберем все члены:
\[ 49 - 4d^2 = 40 \]
Теперь упростим это уравнение:
\[ -4d^2 = 40 - 49 \implies -4d^2 = -9 \implies 4d^2 = 9 \implies d^2 = \frac{9}{4} \implies d = \frac{3}{2} \text{ или } d = -\frac{3}{2} \]
Теперь найдем \(a\) для каждого случая.
- Если \(d = \frac{3}{2}\):
\[ a = \frac{7 - 4 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{7 - 6}{2} = \frac{1}{2} \]
Прогрессия: \(a = \frac{1}{2}\), \(d = \frac{3}{2}\):
\[ \text{Первый член: } \frac{1}{2}, \quad \text{Второй член: } \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2, \quad \text{Третий член: } 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}, \quad \text{Четвёртый член: } \frac{7}{2} + \frac{3}{2} = 5 \]
Прогрессия: \(\frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2}, 5\).
- Если \(d = -\frac{3}{2}\):
\[ a = \frac{7 - 4 \cdot (-\frac{3}{2})}{2} = \frac{7 + 6}{2} = \frac{13}{2} \]
Прогрессия: \(a = \frac{13}{2}\), \(d = -\frac{3}{2}\):
\[ \text{Первый член: } \frac{13}{2}, \quad \text{Второй член: } \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = 5, \quad \text{Третий член: } 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}, \quad \text{Четвёртый член: } \frac{7}{2} - \frac{3}{2} = 2 \]
Прогрессия: \(\frac{13}{2}, 5, \frac{7}{2}, 2\).
Таким образом, возможные арифметические прогрессии:
- \(\frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2}, 5\)
- \(\frac{13}{2}, 5, \frac{7}{2}, 2\)
Вы можете выбрать любую из них в зависимости от контекста задачи.
