Точки Ки Рявляюотся серединами сторон АВ и СВ треугольника АВс. Стороны Ас, АВ н Св соответственно равны 11, 9 и 13. Найідите КР.

В задаче у нас есть треугольник ABC с известными длинами его сторон: \( AC = 11 \), \( AB = 9 \), \( BC = 13 \). Точки \( K \) и \( R \) представляют собой середины сторон \( AB \) и \( BC \) соответственно.

Чтобы найти длину отрезка \( KR \), воспользуемся теорией, связанной с медианами и свойствами треугольника. Сначала определим координаты точек \( K \) и \( R \) в треугольнике.

Для удобства определим координаты:

• Пусть точка \( A \) находится в начале координат \( (0, 0) \).
• Точка \( B \) пусть будет на оси x, то есть \( B(9, 0) \).
• Чтобы найти координаты точки \( C \), воспользуемся формулами расстояния.

Для точки \( C \) будем использовать систему уравнений:

1. Расстояние \( AC = 11 \): \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 11 \implies x^2 + y^2 = 121 \]
2. Расстояние \( BC = 13 \): \[ \sqrt{(x - 9)^2 + y^2} = 13 \implies (x - 9)^2 + y^2 = 169 \]

Раскроем второе уравнение: \[ (x - 9)^2 + y^2 = 169 \implies x^2 - 18x + 81 + y^2 = 169 \]

Теперь подставим \( y^2 \) из первого уравнения: \[ x^2 - 18x + 81 + (121 - x^2) = 169 \] Упрощаем: \[ -18x + 202 = 169 \implies -18x = -33 \implies x = \frac{33}{18} = \frac{11}{6} \]

Теперь подставим \( x = \frac{11}{6} \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \): \[ \left(\frac{11}{6}\right)^2 + y^2 = 121 \implies \frac{121}{36} + y^2 = 121 \] \[ y^2 = 121 - \frac{121}{36} = \frac{4356 - 121}{36} = \frac{4235}{36} \] \[ y = \pm \frac{\sqrt{4235}}{6} \]

Теперь мы имеем координаты:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(9, 0) \)
• \( C\left(\frac{11}{6}, \frac{\sqrt{4235}}{6}\right) \)

Середина отрезка \( AB \) (то есть точка \( K \)): \[ K = \left(\frac{0 + 9}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (4.5, 0) \]

Середина отрезка \( BC \) (то есть точка \( R \)): \[ R = \left(\frac{9 + \frac{11}{6}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{4235}}{6}}{2}\right) = \left(\frac{9 \cdot 6 + 11}{12}, \frac{\sqrt{4235}}{12}\right) = \left(\frac{54 + 11}{12}, \frac{\sqrt{4235}}{12}\right) = \left(\frac{65}{12}, \frac{\sqrt{4235}}{12}\right) \]

Теперь можем найти длину отрезка \( KR \) с использованием формулы расстояния: \[ KR = \sqrt{\left(4.5 - \frac{65}{12}\right)^2 + \left(0 - \frac{\sqrt{4235}}{12}\right)^2} \]

Первые вычисления: \[ 4.5 = \frac{54}{12} \implies KR = \sqrt{\left(\frac{54 - 65}{12}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{4235}}{12}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\left(-\frac{11}{12}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{4235}}{12}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{121}{144} + \frac{4235}{144}} = \sqrt{\frac{4356}{144}} = \sqrt{30.25} = 5.5 \]

Таким образом, длина отрезка \( KR \) равна \( 5.5 \).