44. Упростите выражение: (x ^ 6 + x ^ 4)/(x ^ 4 + x ^ 2) (y ^ 6 - y ^ 8)/(y ^ 4 - y ^ 2) (b ^ 2 - b ^ 10)/(b ^ 5 - b ^ 2) (c ^ 6 - c ^ 4)/(c ^ 3 - c ^ 2)

Давайте упростим каждое выражение по порядку.

1. Упрощение \( \frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2} \):

   В числителе можно вынести общий множитель \( x^4 \): \[ x^6 + x^4 = x^4(x^2 + 1) \] В знаменателе также можно вынести общий множитель \( x^2 \): \[ x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1) \] Теперь подставим обратно в выражение: \[ \frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)} \] Так как \( x^2 + 1 \) не равно нулю (при \( x^2 + 1 \) всегда положительно), можно сократить: \[ \frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2 \] Ответ: \( x^2 \).

2. Упрощение \( \frac{y^6 - y^8}{y^4 - y^2} \):

   В числителе можно вынести \( y^6 \): \[ y^6 - y^8 = y^6(1 - y^2) \] В знаменателе можно вынести \( y^2 \): \[ y^4 - y^2 = y^2(y^2 - 1) = y^2(1 - y^2) \quad (\text{замена знака}) \] Теперь у нас: \[ \frac{y^6(1 - y^2)}{y^2(1 - y^2)} \] Сократим \( 1 - y^2 \) (при условии, что \( y \neq 1 \) и \( y \neq -1 \)): \[ \frac{y^6}{y^2} = y^{6-2} = y^4 \] Ответ: \( y^4 \).

3. Упрощение \( \frac{b^2 - b^{10}}{b^5 - b^2} \):

   В числителе можно вынести \( b^2 \): \[ b^2 - b^{10} = b^2(1 - b^8) \] В знаменателе можно вынести \( b^2 \): \[ b^5 - b^2 = b^2(b^3 - 1) \] Теперь подставим: \[ \frac{b^2(1 - b^8)}{b^2(b^3 - 1)} \] Сократим \( b^2 \) (при условии, что \( b \neq 0 \)): \[ \frac{1 - b^8}{b^3 - 1} \] Далее можно заметить, что \( 1 - b^8 = (1 - b^4)(1 + b^4) \) и \( b^3 - 1 = (b - 1)(b^2 + b + 1) \). Но, для упрощения, запишем: \[ \frac{1 - b^8}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} \] Ответ: \( \frac{1 - b^8}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} \).

4. Упрощение \( \frac{c^6 - c^4}{c^3 - c^2} \):

   В числителе выносим \( c^4 \): \[ c^6 - c^4 = c^4(c^2 - 1) = c^4(c - 1)(c + 1) \] В знаменателе выносим \( c^2 \): \[ c^3 - c^2 = c^2(c - 1) \] Подставим: \[ \frac{c^4(c - 1)(c + 1)}{c^2(c - 1)} \] Сократим \( c - 1 \) (при условии, что \( c \neq 1 \)): \[ \frac{c^4}{c^2} = c^{4-2} = c^2 \] Ответ: \( c^2 \).

Таким образом, окончательные ответы:

1. \( x^2 \)
2. \( y^4 \)
3. \( \frac{1 - b^8}{(b - 1)(b^2 + b + 1)} \)
4. \( c^2 \)