Есть ли в приложении причастный или деепричастный оборот? Внимательно изучив карту мы отправились на поиски сокровищ.

Да, в данном предложении имеется причастный оборот "изучив карту", который выражает действие, предшествующее действию, выраженному глаголом "отправились".