Есть ли в приложении причастный или деепричастный оборот? Внимательно изучив карту мы отправились на поиски сокровищ.

Да, в предложении есть деепричастный оборот. "Внимательно изучив карту" - это деепричастный оборот, связанный с подлежащим предложения.